暗号の数学

標数 3 の体

体の表現

標数 3 の有限体 F3m は,F3 [x] を各係数が標数 3 の基礎体 F3 から構成される任意の多項式,f (x) を m 次の既約多項式として,

 F3m = F3 [x] / f (x)

で表される.

既約多項式は,多くの次数で 3 項式で表され,計算量の削減の観点から実用上 3 項式を用いることが多い.3 項式を,

 f (x) = xm + axk + b  (a, b ∈ (1, 2), 0 < k < m)

で表す.

標数 3 の基礎体 F3 = {0, 1, 2} の元 a は,a = (ah, al) の 2 ビットで表すことができる.ここで,ahal はそれぞれ 2 桁の 2進数の上位ビットと下位ビットであり,(ah, al) の取りうる値は,(0,0),(0,1),(1,0) のいずれかである.

有限体 F3m の元を A(x) とするとき,A(x) の多項式表現は,

 A(x) = am-1xm-1 + am-2xm-2 + ・・・ + a0

となる.この元の各係数 ai (i = 0, 1, ... , m-1) は基礎体 F3 の元であり,各係数は基礎体のビット表現を用いて,ai = (aih, ail) と表すことができる. また,各次数の上位ビットと下位ビットをまとめることにより,次の 2 つのビット列で表現することができる.

 Ah = ( a(m-1)h , a(m-2)h , ... , a0h )

 Al = ( a(m-1)l , a(m-2)l , ... , a0l )

これを用いると,F3m の元 A(x) は

 A(x) = (Ah, Al)

で表される.

F3m 上の演算

F3m 上の基本演算を定義する.


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