• ホーム
• プログラミング
• その他

PARI/GP 関数

PARI/GPの利用方法

GP の起動は，コマンド "gp" による． 起動すると，行頭に "gp >" と GP のプロンプトが表示される． プロンプト "gp >" のあとに計算させたい数式や関数（引数つきのコマンド）を入力し，Enterキーを押すと，GP は "%（番号）=" の後に答を表示する．

GP の主な共通的なコマンドを示す．

• quit または \q　：　GP の終了
• ?　：　ヘルプ
• ?\　：　キーボードショートカットの表示
• ? 関数名　：　関数のヘルプ：（例：? primes）
• \b 　:　最後の演算結果を書式化して表示
• \p 有効数字 ： 有効数字の変更（\p 100 で有効数字を100 桁に設定，初期値は28 桁）
• \r ファイル名　:　ファイルからのプログラムの読み込み
• \d 　:　現在のデフォルト値の表示
• # 　:　タイマ表示の切り替え（初期値は非表示)
• ## 　:　最後の演算のタイマ表示
• 結果の非表示　：　式の後にセミコロン ";" を入れる．
• /*...*/:　コメント (/* から */ をコメントとみなす)
• \\...:　一行コメント (行末までをコメントとみなす)

PARI/GPの関数

PARI/GP の関数群は，用途に応じて次のように分類されている．

1. Standard monadic or dyadic OPERATORS (単項，2項演算子)
2. CONVERSIONS and similar elementary functions (変換に関する関数)
3. TRANSCENDENTAL functions（超越関数の数値的な計算）
4. NUMBER THEORETICAL functions（数論に関する関数）
5. Functions related to ELLIPTIC CURVES（楕円曲線に関する関数）
6. Functions related to general NUMBER FIELDS（一般の代数体に関する関数）
7. POLYNOMIALS and power series（多項式、巾級数に関する関数）
8. Vectors, matrices, LINEAR ALGEBRA and sets（ベクトル、線形代数に関する関数）
9. SUMS, products, integrals and similar functions（和、積、積分など）
10. GRAPHIC functions（グラフィック・プロッティングに関する関数）

コマンド "? n" で，上記のの第 n (1～10) グループの関数一覧が表示される． また，n = 0 とすると，ユーザの定義した関数が表示される．

PARI/GP の暗号関係の演算に利用できる関数(コマンド)群を示す．

• 基本演算／変換
  
  • ＋，－，＊，／，％, ＾
    加減乗除，剰余，べき乗
  • ＜＝，＜，＞，＞＝，＝＝，！＝
    比較演算
  • ||，&&，！
    論理演算（OR, AND, NOT）
  • x!，factorial(x)
    x の階乗
  • sign (x)
    x の符号(負：-1，零：0，正：1)
  • shift (x, n)
    x を n ビット左シフト（n:正数），または右シフト(n:負数) する．
  • max(x, y)，min(x, y)
    x, y の最大値，または最小値を返す．
  • Mod (a, n)
    有理整数環 Z の整数 n を法とした剰余環 Z/nZ の元を表す．通常の数値と同様に，加減乗除演算に利用できる．

     gp > Mod(3,5) + Mod(4, 5)
     %1 = Mod(2, 5)
    

  • digits (x, {b=10})
    数値 |x| の b 進数における各桁の値をベクトルで返す．

     gp > digits(123456, 16)
     %1 = [1, 14, 2, 4, 0]
    

  • x + O(p^k)
    x (10進数) を p 進数 k 桁の数として表す．

     gp > 564 + O(16^3)
     %1 = 4 + 3*16 + 2*16^2 + O(16^3)
    

    564 (10進数) は，16進で 234 になる．
• ベクトルと行列
  
  • ベクトル
    
    • 行ベクトル： [1, 2, 3]
    • 列ベクトル： [1, 2, 3]~
    • 要素参照： vector[i] (i = 1, 2,・・・)
    • 要素数：#vector
    • ベクトル生成： vector (n)
      n 要素のベクトルを生成する．
  • 行列
    
    • 行列：[a,b,c; d,e,f]　：2行3列の行列
    • 参照：matrix[i, j] (i, j = 1, 2,・・・)
    • 行列生成： matrix (m, n)
      m x n の行列を生成する．
• 数論関数
  
  • gcd (a, b)
    a と b の最大公約数を計算する．
  • lcm (a, b)
    a と b の最小公倍数を計算する．
  • gcdext (x, y)
    d = gcd(x, y) かつ u*x + v*y = d なるベクトル [u, v, d] を返す (拡張ユークリッド互除法)．
  • isprime (n)
    整数 n が素数か否かを判定する．素数の場合 1，素数でない場合 0 が返る．
  • prime (n)
    n 番目の素数を返す.
  • primes (n)
    始めの n 個の素数からなるベクトルを返す．
  • nextprime (n)
    n に等しいか大きい最小の素数を返す．
  • chinese (Mod(a, m), Mod(b, n))
    m, n が互いに素な時，x = a (mod m), x = b (mod n) なる x を求める(中国人の剰余定理)．

    gp > chinese (Mod(3,3),Mod(4, 5))
    %1 = Mod(9, 15)
    

  • factor (n)
    n を素因数分解する．
  • znprimroot (q)
    法 q に関する原始根を求める．
  • znlog (x, g)
    (Z/pZ)^* における x の基底 g に対する離散対数を求める．
    すなわち，x = g^y mod p なる y を求める．
  • eulerphi (n)
    オイラー関数 φ(n) を計算する．
  • kronecker(x, y)
    Kronecker-Legendre 記号 (x / y) を計算する．
• 乱数
  
  • random (n)
    0 ～ n - 1 の擬似乱数を返す（nが整数型の場合）．n の型により戻り値の型も異なる．
  • getrand ()
    乱数種を返す．
  • setrand (s)
    乱数種として s を設定する．
• 多項式
  
  • Pol (v)
    ベクトル v の要素を次数が高い順に係数に持つ多項式を返す．
  • Polrev (v)
    ベクトル v の要素を次数が低い順に係数に持つ多項式を返す．
  • subst (x, y, z)
    多項式 x の変数 y を z に置き換える．
• 体の生成
  
  • ffgen (q, {v})
    q 個の要素を持つ有限体を返す．ここで，q = p^m は素数のべきである．
    この関数は，次数 m の F_p[X] に属する規約多項式 P を生成し，g =X (mod P(X)) を返す．v が指定された場合，多項式の変数名として用いられる（省略時は x）．
    素数のべき q を指定する代りに直接規約多項式を指定することもできる．
  • ffinit (p, n，{v='x})
    F_p 上の次数 n の既約多項式を生成する（p は素数）．
    この関数は，ffgen と共に用いると便利である．例えば，g = ffgen(ffinit(3,2), 't) であるが，これは g = ffgen(3^2, 't) と等価である．規約多項式は，g.mod で得られる．
• 楕円曲線関数
  楕円曲線上の点 (x, y) は，長さ 2 のベクトル [x, y] で表し，無限遠点は長さ 1 のベクトル [0] で表す．
  楕円曲線 E に関して，以下の定数が定義される．
  • E.a1, E.a2, E.a3, E.a4. E.a6
    楕円曲線 E の Weierstrass 方程式 の係数．

    y² + a₁xy + a₃y = x³ + a₂x² + a₄x + a₆

  • E.disc
    楕円曲線 E の判別式
  • E.j
    楕円曲線 E の j-不変量
  • E.p
    楕円曲線 E が定義された体 F_q の標数
  • E.no
    楕円曲線 E の位数 #E(F_q)
  • E.gen
    楕円曲線 E の生成元 G
  
  
  • E = ellinit ([a₁, a₂, a₃, a₄, a₆], {D=1})
    Weierstrass 方程式 y² + a₁xy + a₃y = x³ + a₂x² + a₄x + a₆ で与えられる楕円曲線 E を生成する．
    D は曲線が定義される体を表す．素体 F_p の場合，p を指定する． 一般の有限体の場合は，体生成関数 ffgen の戻り値を指定する．
  • ellap (E, {p})
    楕円曲線 E に対する Frobenius のトレース t を計算する． ここで, #E(F_q) = q + 1 - t の関係がある．
  • ellcard (E, {p})
    楕円曲線 E の群 E(F_q) の位数を計算する．
  • ellorder (E, z)
    楕円曲線 E 上の点 z の位数を計算する．
  • elloncurve (E, P)
    楕円曲線 E，点 P に対して， P ∈ E か否かを判定する．
  • elladd (E, P₁, P₂)
    楕円曲線 E，点 P₁，P₂ ∈ E に対して， P₁ + P₂ の点を求める．
  • ellsub (E, P₁, P₂)
    楕円曲線 E，点 P₁，P₂ ∈ E に対して， P₁ - P₂ の点を求める．
  • ellmul (E, P, n) / ellpow (E, P, n)
    楕円曲線 E，点 P ∈ E，n ∈ Z に対して，スカラー倍 nP の点を求める．
  • ellordinate (E, a)
    楕円曲線 E，スカラー値 a に対して， P ∈ E の x 座標が a となる点 P の y 座標を求める．
  • elllog (E, P, G)
    与えられた楕円曲線 E 上の点 P，G に対して，基数 G に対する P の離散対数を計算する．すなわち，P = [n]G なる最も小さい正整数 n を計算する．
  • random (E)
    楕円曲線 E 上の点をランダムに生成する．

数学ツール

• PARI/GP
• ◆ PARI/GP 関数
• ◆ PARI/GP プログラム
• ◆ 楕円曲線プログラム
• ◆ 暗号プログラム
• ◆ 閾値型分散暗号

数学ライブラリ

• GNU MP
• BIGNUM
• 楕円曲線演算

　／